Question

如图，半圆的圆心与坐标原点重合，圆的半径为1，直线l的解析式为y=x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是

 

；若直线l与半圆有交点，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线过点B．
当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得DOC=45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．
若直线L与半圆有交点，则直线从和半圆相切于点C开始到直线过点B结束（包括上述两种情况）．

解答：
解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线y=x+t与x轴所形成的锐角是45°．
当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD=45°．
又OC=1，则CD=OD=

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，即点C（-

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，

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）．
把点C的坐标代入直线解析式，得
t=y-x=

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；
当直线过点B时，把点A（-1，0）代入直线解析式，得t=y-x=1．
当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t=y-x=-1．
即t=

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或-1≤t≤1时，直线和圆只有一个公共点；
若直线和圆有公共点，则-1≤t≤

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点评：此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法．