Question

（2010四川乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h₁，BE=h₂，CF=h₃.

（1）如图（12.1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）.求证：h₂+h₃= 2h₁；

（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.

①如图（12.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；

②如图（12.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h₁、h₂、h₃满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）

Answer 1

（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l，

∴四边形BCFE是梯形.

又∵GD⊥l，D是BC的中点，

∴DG是梯形的中位线，

∴BE+CF=2DG.

又O为AD的中点，∴AG=DG，

∴BE+CF=2AG.

即h₂+h₃= 2h₁.

（2）成立.

证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，

∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD，

∴△AGO≌△DHO，

∴DH=AG.

又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质，

得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，

∴h₂+h₃= 2h₁成立.

（3）h₁、h₂、h₃满足关系：h₂－h₃= 2h₁.

（说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分）