Question

如图，已知正方形ABCD，设AB、BC的延长线分别为射线BK，CN，点F从A点沿射线AB以一定的速度运动，同时点E从B点沿射线BC以相同的速度运动，FD交AE于点M．
（1）求证：△AFD≌△BEA．
（2）在射线EN的上方以EN为边作∠GEN=∠BAE，且使EG=AE．
①求证：EGDF为平行四边形；
②当E，F两点运动到某时刻时，使得M为AE中点，求此时∠G的度数．

Answer 1

解：（1）由题意知AF=BE
又∵∠DAF=∠ABE，DA=AB，
∴△AFD≌△BEA（SAS）；

（2）如图1，
①由△AFD≌△BEA得AE=FD，∠BAE=∠ADF，
∵∠BAE+∠DAE=90°
∴∠AMD=∠AEG=90°，
∴FD∥EG，FD=EG，
所以EGDF为平行四边形；
②由于M为AE中点，FM是AE的中垂线，
∴EF=FA=BE，
又∵∠FBE=90°，
由勾股定理得FB=0，于是F与B重合（如图2），
∴∠G=∠DBC=45°．
分析：（1）由题意知AF=BE，且∠DAF=∠ABE，DA=AB，即可证明△AFD≌△BEA，
（2）由△AFD≌△BEA得AE=FD，∠BAE=∠ADF，即可求证FD∥EG，FD=EG，即可证明EGDF为平行四边形．
点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，平行四边形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证△AFD≌△BEA是解题的关键．