Question

已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式

(kc)2-b2+ab

akc

的值；
（3）求证：关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析：（1）根据一元一次方程及根的条件，求k的值．
（2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值．
（3）根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x有两不相等的实数根．

解答：解：（1）由kx=x+2，
得（k-1）x=2．
依题意k-1≠0．
∴x=

2

k-1

．
∵方程的根为正整数，k为整数，
∴k-1=1或k-1=2．
∴k₁=2，k₂=3．

（2）依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴0=a-b+kc，
kc=b-a，
∵已知akc≠0，
∴b-a≠0，
∴

(kc)2-b2+ab

akc

=

(b-a)2-b2+ab

a(b-a)

=

b2-2ab+a2-b2+ab

ab-a2

=

a2-ab

ab-a2

=-1，

（3）证明：方程②的判别式为△=（-b）²-4ac=b²-4ac．
由a≠0，c≠0，得ac≠0．
（i）若ac＜0，则-4ac＞0．故△=b²-4ac＞0．
此时方程②有两个不相等的实数根．
（ii）证法一：若ac＞0，由（2）知a-b+kc=0，
故b=a+kc．
△=b²-4ac=（a+kc）²-4ac
=a²+2kac+（kc）²-4ac
=a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac
=（a-kc）²+4ac（k-1）
∵方程kx=x+2的根为正实数，
∴方程（k-1）x=2的根为正实数．
由x＞0，2＞0，得k-1＞0．
∴4ac（k-1）＞0．
∵（a-kc）²≥0，
∴△=（a-kc）²+4ac（k-1）＞0．
此时方程②有两个不相等的实数根．
证法二：若ac＞0，
∵抛物线y=ax²-bx+kc与x轴有交点，
∴△₁=（-b）²-4akc=b²-4akc≥0．
（b²-4ac）-（b²-4akc）=4ac（k-1）．
由证法一知k-1＞0，
∴b²-4ac＞b²-4akc≥0．
∴△=b²-4ac＞0．此时方程②有两个不相等的实数根．
综上，方程②有两个不相等的实数根．

点评：考查根的判别式与根的关系和二次函数图象性质．