Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接PC．根据直角三角形的性质可得PC=EF=PA．运用“SSS”证明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；
（2）作PH⊥CF于H点．分别求DF和PH的长，再计算面积．设DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，运用勾股定理可求DF；根据三角形中位线定理求PH．
解答：（1）证明：连接PC．
∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中点，
∴PA=EF，PC=EF，
∴PA=PC．
又∵AD=CD，PD=PD（公共边），
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点．
∵P是EF的中点，
∴PH=EC．
设EC=x．
由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠FEC=180°-45°-75°=60°，
∴EF=2x，FC=x，BE=2-x．
在Rt△ABE中，2²+（2-x）²=（x）²，即x²+4x-8=0，
解得 x₁=-2-2（舍去），x₂=-2+2．
∴PH=-1+，FD=（-2+2）-2=-2+4．
∴S_△DPF=（-2+4）×=3-5．
点评：此题考查正方形、特殊直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大．