Question

在△ABC中，∠A=90°，AC=8cm，sin∠ABC=，点D是边AB上的一动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E

（1）如图（1），当AD=2BD时，求△ADE的面积；
（2）点D在运动过程中，如果△ADE的周长与四边形DBCF的周长相等，求AD的长；
（3）将四边形BCED沿DE向上翻折，得四边形MDEN，HF与边AB、AC分别交于点M、N（如图2所示），如设四边形MDEN的面积为y，AD的长为x，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，∠A=90°，AC=8，sin∠ABC=，
∴sin∠ABC==，解得BC=10，AB=6，
∵AD=2BD，DE∥BC，
∴==2，解得AD=4，AE=，
∴△ADE的面积为×4×=cm²；

（2）∵△ADE的周长与四边形DBCE的周长相等，
∴AD+DE+AE=DB+BC+CE+DE，即AD+AE=DB+BC+CE，
设AD的长为x，由（1）可知，AE=x，DB=6-x，EC=8-x，
∴x+x=6-x+10+8-x，解得：x=cm，
∴AD的长为cm；

（3）∵四边形BCED沿DE向上翻折，
∴∠HDE=∠BDE，∠H=∠B，HD=BD，
∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDE=180°，
∴∠H+∠HDE=180°，
∴DE∥HF∥BC，
∴∠B=∠HMD，
∴∠H=∠HMD，
∴HD=BD=MD，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）²，
同理=（）²，
AM=2x-6 S_△AMN=24，
∴y=x²-（2x-6）²=-2x²+16x-24（3＜x＜6）
分析：（1）利用∠A的正弦值求得BC和AB的长，然后利用相似三角形求得AD和AE的长，最后求面积即可；
（2）根据△ADE的周长与四边形DBCE的周长相等，得到AD+DE+AE=DB+BC+CE+DE，即AD+AE=DB+BC+CE，设AD的长为x，并由此得到方程x+x=6-x+10+8-x，求得x即可；（3）根据四边形BCED沿DE向上翻折，利用翻折对称性得到∠HDG=∠BDG，∠H=∠B，HD=BD，证得ADE∽△ABC，利用面积的比等于相似比的平方即可确定函数的解析式．
点评：本题考查了折叠问题、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数的定义，难度较大．