Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（　　）

• A． 105°
• B． 110°
• C． 130°
• D． 145°

Answer 1

分析 连接PD，如图，连接AP并延长交BC于E，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠ACB=70°，再利用等腰三角形性质和三角形外角性质可计算出∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°，则∠ABD=105°，利用三角形内心的性质得AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，根据等腰三角形性质可判定AE垂直平分BC，利用角平分线的定义计算出∠PBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=52.5°，则∠PBC=22.5°，然后利用PB=PC得到∠PBC=∠PCB=22.5°，最后根据三角形内角和计算∠BPC的度数．

解答 解：连接PD，如图，连接AP并延长交BC于E，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠CBD，
而∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°，
∴∠ABD=35°+70°=105°，
∵点P是△ABD的内心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=52.5°，
∴∠PBC=52.5°-35°=22.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=22.5°，
∴∠BPC=180°-22.5°-22.5°=145°．
故选D．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质．