Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A-B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=

 

cm²；当x=

9

2

s时，y=

 

cm²．
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当动点P在线段BC上运动时，求出y=

4

15

S_梯形ABCD时x的值．
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

Answer 1

分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，当x=

9

2

s时，三角形PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解．
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤x≤9时，当9＜x≤13时，当13＜x≤14时．
（3）可以由已知条件求出S_梯形ABCD，然后根据条件求出y值，代入当5≤x≤9时的解析式就可以求出x的值．
（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．

解答：解：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2
∴y=

2×2

2

=2
当x=

9

2

s时，AP=4.5，Q点在EC上
∴y=

4.5×4

2

=9
故答案为：2；9

（2）当5≤x≤9时
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=

1

2

（5+x-4）×4-

1

2

×5（x-5）-

1

2

（9-x）（x-4）
y=

1

2

x²-7x+

65

2

当9＜x≤13时
y=

1

2

（x-9+4）（14-x）
y=-

1

2

x²+

19

2

x-35
当13＜x≤14时
y=

1

2

×8（14-x）
y=-4x+56；

（3）当动点P在线段BC上运动时，
∵y=

4

15

S_梯形ABCD=

4

15

×

1

2

（4+8）×5=8
∴8=

1

2

x²-7x+

65

2

，即x²-14x+49=0，解得：x₁=x₂=7
∴当x=7时，y=

4

15

S_梯形ABCD

（4）设运动时间为x秒，
当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，
此时△BPQ∽△BAC，
故

BP

AB

=

BQ

BC

，即

5-x

5

=

x

4

，
解得x=

20

9

；
当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，
此时△PCQ∽△BCE，
故

PC

BC

=

CQ

CE

，即

9-x

4

=

x-4

5

，
解得x=

61

9

；
当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，
此时△PEQ∽△BAE，
故

EP

AB

=

EQ

AE

，即

14-x

5

=

x-9

4

，
解得x=

101

9

．
综上所述x的值为：x=

20

9

、

61

9

或

101

9

．

点评：本题考查了用函数关系式表示变化过程中三角形的面积，相似三角形的判定及性质，梯形的面积等多个知识点．是一道分段函数试题，难度较大．