Question

如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．
（1）请填空：当x=2时，CD=

2

2

，DQ=

4

2

，此时CD+DQ

=

CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；
（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；
（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当x=2时，延长ED交BC于H，延长GD交PQ于点K，就有EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，就可以求出CH=6-2x，再根据勾股定理就可以求出CD、DQ及CQ的值；
（2）由图形观察可以得出S_△CDQ=S_△CBQ-S_△CHD-S梯形HBQD，只要根据条件分别表示出=S_△CBQ、S_△CHD、S_梯形HBQD的面积即可；
（3）根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算．如图6，当CD=AC时，作CH⊥GD的延长线于点H，解直角三角形CHD；如图7，当AD=AC时，作DH⊥PQ于点H，解直角三角形ADH；如图8，当AD=CD时，作DK⊥BC于BC延长线于点K，作DH⊥PQ于点H，解直角三角形DCK和直角三角形DHA；如图9，当CD=AC时，作DK⊥BC于BC延长线于点K，解直角三角形DKC；如图10，当AD=AC时，作DH⊥PQ于点，解直角三角形DHA．结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出x的值即可．

解答：解：（1）延长ED交BC于H，延长GD交PQ于点K，
∴EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，
∵x=2，BC=6，DE=4，
∴EQ=DK=HB=4，BK=HD=2，BQ=6，
∴CH=2．
在Rt△CHD、Rt△DKQ、Rt△CBQ中，由勾股定理得：
CD=2

2

，DQ=4

2

，CQ=6

2

．
∴CD+DQ=6

2

，
∴CD+DQ=CQ．
故答案为：2

2

，4

2

，=；
（2）当0≤x≤2时，如图2，
∵EQ=DK=2x，BK=HD=x，BQ=4+x，CH=6-2x，
∴S_△CDQ=

(4+x)6

2

-

(6-2x)x

2

-

(x+4+x)2x

2

，
=-x²-4x+12
当2＜x≤3时，如图5，作CH⊥DG于H，DK⊥BC于K，
∴EQ=BK=2x，CK=HD=6-2x，BQ=4+x，CH=x，
∴S_△CDQ=CK•KD+KB•BQ-

BC•BQ

2

-

HD•HC

2

-

DE•QE

2

，
=（6-2x）x+2x（4+x）-

6(4+x)

2

-

(6-2x)x

2

-

4×2x

2

，
=x²+4x-12；
当3＜x≤4时，如图3，作DH⊥BC的延长线于H，
∴EQ=HB=2x，HD=x，BQ=4+x，CH=2x-6，
∴S_△CDQ=HB•QB-

HD•HC

2

-

DE•QE

2

-

BC•BQ

2

，
=2x（4+x）-

x(2x-6)

2

-

4×2x

2

-

6(4+x)

2

，
=8x+2x²-x²+3x-4x-12-3x，
=x²+4x-12．
∴S=

-x2-4x+12(0≤x≤2) x2+4x-12(2＜x≤4)

，
（3）∵纸片DEFG沿RS方向平移，
∴4≤x≤24．
如图6，当CD=AC时，作CH⊥GD的延长线于点H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-6-4=2，CH=（x+4）-（2x-4）=8-x，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=

64+36

=10
在Rt△CHD中，由勾股定理，得
（8-x）²+2²=100，
解得：x₁=8+4

6

，x₂=8-4

6

＜4（舍去）；
如图7，当AD=AC时，作DH⊥PQ于点H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-4=8，AH=（x+4+8）-（2x-4）=16-x，
在Rt△ADH中，由勾股定理，得
（16-x）²+8²=100，
解得：x₁=22，x₂=10；
如图8，当AD=CD时，作DK⊥BC于BC延长线于点K，作DH⊥PQ于点H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DK=2x-4-（x+4）=x-8，KC=12-4-6=2，
AH=x+4+8-（2x-4）=16-x，DH=12-4=8．
∴（x-8）²+4=（16-x）²+64，
∴x=15

3

4

；
综上所述：纸片DEFG沿RS方向平移，当x的值为：22，10，15

3

4

，8+4

6

时，
以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形．

点评：本题是一道综合性很强的数学动点问题，考查了勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，等腰三角形的性质的运用，在解答本题时建立直角三角形运用勾股定理求解是关键．