Question

如图所示，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A（6，0）、B（0，-8）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与x轴交于D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）两点，且x₁＜x₂，在抛物线上是否存在点P，使△PDE的面积是△ABC面积的？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
根据题意，得：
解之，得k=，b=-8
∴直线AB的解析式为y=x-8

（2）设抛物线对称轴交x轴于F，
∵∠AOB=90°，
∴AB为圆M的直径，即AM=BM，
∴抛物线的对称轴经过点M，且与y轴平行，OA=6，
∴对称轴方程为x=3，
作对称轴交圆M于C，
∴MF是△AOB的中位线，
∴MF=BO=4，
∴CF=CM-MF=1，
∵点C（3，1），由题意可知C（3，1）就是所求抛物线的顶点．
方法一：设抛物线解析式为y=a（x-3）²+1，
∵抛物线过点B（0，-8），
∴-8=a（0-3）²+1，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-3）²+1或y=-x²+6x-8；

方法二：∵抛物线过点B（0，-8），
∴可设抛物线的解析式为y=ax²+bx-8，
由题意可得：，
∴a=-1，b=6，
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x-8；

（3）令-x²+6x-8=0，得x₁=2，x₂=4，
∴D（2，0），E（4，0），
设P（x，y），
则S_△PDE=•DE•|y|=×2|y|=|y|，
S_△ABC=S_△BCM+S_△ACM=•CM•（3+3）=×5×6=15，
若存在这样的点P，则有|y|=×15=3，
从而y=±3，
当y=3时，-x²+6x-8=3，
整理得：x²-6x+11=0，
∵△=（-6）²-4×11＜0，
∴此方程无实数根；
当y=-3时，-x²+6x-8=-3，
整理得：x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴这样的P点存在，且有两个这样的点：P₁（1，-3），P₂（5，-3）．
分析：（1）已知了A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）已知了A、B的坐标，M是线段AB的中点，不难得出M点的坐标和圆的半径，据此可求出C点的坐标．然后用顶点式二次函数解析式设抛物线，将B点坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值．也就得出了抛物线的解析式．
（3）先求出三角形ABC的面积（可将三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC两部分来求）．然后根据三角形ABC与三角形PDE的面积比求出三角形PDE的面积．由于三角形PDE中，DE的长是定值，因此可求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标．
点评：本题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识点．综合性较强，难度适中．