Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（1）若

BD

AB

=

3

5

，求CD的长．
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
（3）若将（2）中扇形卷成一个圆锥，则此圆锥的侧面积．

Answer 1

分析：（1）首先根据锐角三角函数求得直角三角形ABC的两条直角边，再根据勾股定理得出DE的长，进一步根据垂径定理计算弦长；
（2）可设∠ADO=4x，∠EDO=x，根据OA=OD，则∠OAD=∠ODA=4x，求出由AB垂直CD，得：4x+4x+x=90°，求出x，进而得出∠AOC的度数，利用扇形面积公式求出即可；
（3）根据圆锥的侧面积等于扇形OAC（阴影部分）的面积即可得出答案．

解答：解：（1）∵半径OD=5，则直径AB=10，
∴

BD

AB

=

BD

10

=

3

5

，则BD=6，
∴若设OE=x，则BE=5-x，由勾股定理可得：BD²-BE²=DO²-0E²
从而列方程：6²-（5-x）²=5²-x²，
解得x=

7

5

，
由勾股定理可得：DE=

24

5

，
由垂径定理可得CD=

48

5

；

（2）∵∠ADO：∠EDO=4：1，则可设∠ADO=4x，∠EDO=x，
又∵OA=OD，则∠OAD=∠ODA=4x，
由AB⊥CD，得：4x+4x+x=90°，
∴x=10°，
∴∠ADE=50°，则∠AOC=100°，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积=

100π×52

360

=

125

18

π；

（3）∵圆锥的侧面积等于扇形OAC（阴影部分）的面积，
∴S_侧=πrl=

125

18

π．

点评：此题主要考查了圆的综合题，综合考查了解直角三角形、阴影部分面积等相关知识．正确利用圆锥侧面积与扇形面积关系求出是解题关键．