Question

已知抛物线y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴交于点C，且AB=6．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC；
（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙P的半径；
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使△MBN被直线BC分成面积比为1：3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：x₁+x₂=，x₁•x₂=，x₂-x₁=6
则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，（）²+=36
解得：m₁=1，m₂=-．
经检验m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x-5
或：由mx²-（m-5）x-5=0得，x=1或x=-
∵m＞0，
∴1-=6，
∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+4x-5
由x²+4x-5=0得x₁=-5，x₂=1
∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
∴
∴直线BC的解析式为y=5x-5；

（2）如图1；

（3）如图2，由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y=x²+4x-5的对称轴直线x=-2上，
设P（-2，-h）（h＞0），
连接PB、PC，则PB²=（1+2）²+h²，PC²=（5-h）²+2²，
由PB²=PC²，
即（1+2）²+h²=（5-h）²+2²，解得h=2．
∴P（-2，-2），
∴⊙P的半径PB==；

（4）如图3，设MN交直线BC于点E，点M的坐标为（t，t²+4t-5），则点E的坐标为（t，5t-5）．
若S_△MEB：S_△ENB=1：3，则ME：EN=1：3．
∴EN：MN=3：4，
∴t²+4t-5=（5t-5）．
解得t₁=1（不合题意舍去），t₂=，
∴M（）．
若S_△MEB：S_△ENB=3：1，则ME：EN=3：1．
∴EN：MN=1：4，
∴t²+4t-5=4（5t-5）．
解得t₃=1（不合题意舍去），t₄=15，
∴M（15，280）．
∴存在点M，点M的坐标为（）或（15，280）．
分析：（1）本题要先依据根与系数的关系表示出x₁+x₂、x₁•x₂的值，然后依据AB=6，即x₂-x₁=6来求出m的值，进而得出A、B两点的坐标．然后根据A、B、C的坐标用待定系数法求出抛物线和执行BC的解析式；
（2）经过选点、描点、连线画出函数图象即可；
（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心P必在抛物线的对称轴上，因此可设出圆心P的纵坐标（其横坐标为抛物线对称轴的值），然后用坐标系中两点间的距离公式求出PB、PC的长，因为PB、PC均为半径，因此两者相等，由此可得出关于P点纵坐标的方程，即可求出P点的坐标；
（4）如果设MN与直线BC相交于E，本题要分两种情况进行讨论：
①S_△MEB：S_△ENB=1：3；②S_△MEB：S_△ENB=3：1．
可先根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后依据上面的分析的两种情况分别可得出一个关于E点坐标的方程，经过解方程即可得出E点的坐标．
点评：本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、一元二次方程根与系数的关系、三角形的外心、图形的面积的求法等知识点，主要考查了学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．