【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y= x与直线l2:y=﹣x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N.
(1)求M,N的坐标.
(2)矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动,设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时开始结束).直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程).
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?并求出最大值.
【答案】
(1)
解:解方程组 ,
解得: ,
则M的坐标是:(4,2).
在解析式y=﹣x+6中,令y=0,解得:x=6,则N的坐标是:(6,0)
(2)
解:当0≤t≤1时,重合部分是一个三角形,OB=t,则高是 t,则面积是 ×t t= t2;
当1<t≤4时,重合部分是直角梯形,梯形的高是1,下底是: t,上底是: (t﹣1),根据梯形的面积公式可以得到:S= [ t+ (t﹣1)]= (t﹣ );
当4<t≤5时,过M作x轴的垂线,则重合部分被垂线分成两个直角梯形,两个梯形的下底都是2,上底分别是:﹣t+6和 (t﹣1),根据梯形的面积公式即可求得
S=﹣ t2+ t﹣ ;
当5<t≤6时,重合部分是直角梯形,与当1<t≤4时,重合部分是直角梯形的计算方法相同,则S= (13﹣2t);
当6<t≤7时,重合部分是直角三角形,则与当0≤t≤1时,解法相同,可以求得S= (7﹣t)2.
则:S=
(3)
解:在0≤t≤1时,函数值y随t的增大而增大,则当t=1时,取得最大值是: ;
当1<t≤4时,函数值y随t的增大而增大,则当t=4时,取得最大值是: (4﹣ )= ;
当4<t≤5时,是二次函数,对称轴t= ,则最大值是:﹣ ×( )2+ × ﹣ = ;
当5<t≤6时,函数值y随t的增大而减小,所以函数一定小于 ;
同理,当6<t≤7时,y随t的增大而减小,所以函数一定小于 .
所以函数的最大值是:
【解析】(1)解两条直线的解析式组成的方程组的解,即可求得交点M的坐标,在y=﹣x+6中,令y=0即可求得点N的横坐标,则N的坐标即可求解;(2)分成0≤t≤1,1<t≤4,4<t≤5,5<t≤6,6<t≤7五种情况,利用三角形的面积公式和梯形的面积公式,即可求得函数的解析式;(3)分别求得每种情况下函数的最值或函数值的范围,即可确定.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 .
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF~△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD= .其中正确的结论有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
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【题目】为了倡导节能低碳的生活,某公司对集体宿舍用电收费作如下规定:一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时,则一个月的电费为20元;若超过a千瓦时,则除了交20元外,超过部分每千瓦时要交 元.某宿舍3月份用电80千瓦时,交电费35元;4月份用电45千瓦时,交电费20元.
(1)求a的值;
(2)若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时?
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【题目】如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1S2 . (填“>”“=”或“<”)
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【题目】对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1 , y1),P2(x2 , y2),我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离,记作d(P1 , P2).
(1)已知O为坐标原点,动点P(x,y)满足d(O,P)=1,请写出x与y之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形;
(2)设P0(x0 , y0)是一定点,Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点,我们把d(P0 , Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离.试求点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离.
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【题目】已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3 , 则点A3到x轴的距离是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°角的正切值是( )
A. +1
B. +1
C.2.5
D.
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