Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将直角三角板中45°角的顶点放在点C处，并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点（点D在点E的左侧，并且点D不与点A重合，点E不与点B重合），设AD=m，DE=x，BE=n．
（1）判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段，并说明理由．

Answer 1

解：（1）结论：以m、x、n为三边长组成的三角形是直角三角形．
证明：如图，作△CAD关于CD所在直线的轴对称三角形CFD，连接EF．
则CF=CA，DF=DA=m，∠2=∠1，∠CFD=∠A=45°，
∵AC=BC，∴CF=CB，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°．
∴∠3=∠4，
在△ECF和△BCE中，，
∴△FCE≌△BCE，
∴FE=BE=n，∠CFE=∠B=45°，
∴∠DFE=∠CFD+∠CFE=90°．
∴△DEF是直角三角形，即以m、x、n为三边长组成的三角形是直角三角形．

（2）∵（1）中Rt△DEF的DE为斜边，FD=AD，FE=BE，
∴AD、DE、BE的三条线段中，始终最长的是DE．
分析：（1）作△CAD关于CD所在直线的轴对称三角形CFD，连接EF．可证明∠3=∠4，即可证明△FCE≌△BCE，则FE=BE=n，∠CFE=∠B=45°，∠DFE=∠CFD+∠CFE=90°，即可得出结论；
（2）根据FD=AD，FE=BE，则AD、DE、BE的三条线段中，始终最长的是DE．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．