Question

如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（　　）

A．3

B．4

C．1

D．2

Answer 1

分析：首先连接BD，易证得△ADE≌△△BDF，然后可证得DE=DF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．

解答：解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=

1

2

∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，

∠ADE=∠BDF AD=BD ∠A=∠DBF

，
∴△ADE≌△△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确．
∵∠ADE=∠BDF，
同理：∠BDE=∠CDF，
但∠ADE不一定等于∠BDE，
∴AE不一定等于BE，
故①错误；
∵△ADE≌△△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
故选D．

点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．