Question

（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD．
（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；
（2）连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB．

Answer 1

分析：（1）首先根据三角形中位线定理可得EF∥BD，再有条件AD∥BC，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM是平行四边形；
（2）首先根据平行线分线段成比例定理可得

BN

CM

=

BE

CE

，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得

DB

MN

=

AB

AN

，进而得到MN=2DB．

解答：证明：（1）∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形DBEM是平行四边形；

（2）∵四边形ABCM为平行四边形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴

BN

CM

=

BE

CE

，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF∥BD，
∴

DB

MN

=

AB

AN

．
∴MN=2DB．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．