Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。

（1）求证：BC是⊙O切线；

（2）若BD=5， DC=3，求AC的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析证明；（2）见解析证明．

【解析】

试题分析：（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可；（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．

试题解析：（1）证明: 如图1，连接OD.∵ OA=OD, AD平分∠BAC，∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD，∴ ∠ODA=∠CAD，∴ OD//AC，∴ ∠ODB=∠C=90，∴ BC是⊙O的切线；

（2） 如图2，过D作DE⊥AB于E.∴ ∠AED=∠C=90，又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD, ∴ △AED≌△ACD.

∴ AE=AC, DE=DC=3，在Rt△BED中，∠BED =90,由勾股定理，得BE=.设AC=x（x>0）, 则AE=x，在Rt△ABC中，∠C=90, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得，

解得x=6，即 AC=6.