Question

如图，E为正方形ABCD的边CD的中点，经过A、B、E三点的⊙O与边BC交于点F，P为上任意一点．若正方形ABCD的边长为4，则sin∠P的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：首先连接AF，AE，EF，由四边形ABCD是正方形，易得AF是直径，继而可证得△CFE∽△DEA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF的长，继而求得BF与AF的长，又由∠P=∠BAF，即可求得答案．
解答：解：连接AF，AE，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠C=∠D=90°，
∴AF是⊙O的直径，
∴∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠CFE=90°，∠FEC+∠AED=90°，
∴∠CFE=∠DEA，
∴△CFE∽△DEA，
∴CF：DE=CE：AD，
∵AD=4，E是CD的中点，
∴DE=CE=2，
∴，
解得：CF=1，
∴BF=BC-CF=4-1=3，
∴AF==5，
∵∠P=∠BAF，
∴sin∠P=sin∠BAF==．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．