Question

14．如图，以AD为直径的⊙O交AB于C点，BD的延长线交⊙O于E点，连CE交AD于F点，若AC=BC．
（1）求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$；
（2）若$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{2}$，求tan∠CED的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，只要证明∠EAC=∠AEC即可；
（2）由△EDF∽△COF，可得$\frac{ED}{DF}$=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{2}$，设FO=2a，OC=3a，则DF=a，DE=1.5aAD=DB=6a，由△BAD∽△BEC，可得BD•BE=BC•BA，设AC=BC=x，则有2x²=6a×7.5a，由此求出AC、CD即可解决问题；

解答 （1）证明：连接AE．
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴DC⊥AB，∵AC=CB，
∴DA=DB，
∴∠CDA=∠CDB，
∵∠EAC+∠EDC=180°，∠EDC+∠CDB=180°，
∴∠BDC=∠EAC，
∵∠AEC=∠ADC，
∴∠EAC=∠AEC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$．

（2）解：连接OC．
∵AO=OD，AC=CB，
∴OC∥BD，
∴△EDF∽△COF，
∴$\frac{ED}{DF}$=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{2}$，设FO=2a，OC=3a，则DF=a，DE=1.5aAD=DB=6a，
∵∠BAD=∠BEC，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BEC，
∴BD•BE=BC•BA，设AC=BC=x，
则有2x²=6a×7.5a，
∴x=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$a，
∴AC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$a，
∴CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$a，
∴tan∠BEC=tan∠DAC=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{\frac{3\sqrt{6}}{2}a}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．