Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为
斜边做等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：
①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为．
其中正确的是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．
解答：解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
②∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故②正确；
①当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；
当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；
故①不完全正确；
④∵==，
∴=，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③∵由④知∠DAC=45°，
∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值，
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=；
故S_梯形ABCD=（1+）×=，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到等腰直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．