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    如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=
    1
    2
    BD•AH，S△ADC=
    1
    2
    DC•AH，则
    S△ABD
    S△ACD
    =
    BD
    DC
    ，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．

    请解决下列问题：
    已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．
    （1）求证：
    AD
    DB
    =
    S△AEF
    S△BEF
    ；
    （2）求证：
    AD
    DB
    •
    BE
    EC
    •
    CF
    FA
    =1．
    分析：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出
    S△AEF
    S△BEF
    =
    AM
    BN
    ，再证明△ADM∽△BDN，由相似三角形对应边成比例得出
    AD
    BD
    =
    AM
    BN
    ，进而证明出
    AD
    BD
    =
    S△AEF
    S△BEF
    ；
    （2）根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出
    S△BEF
    S△ECF
    =
    BE
    EC
    ，
    S△CEF
    S△FEA
    =
    CF
    FA
    ，又由（1）得出
    S△AEF
    S△BEF
    =
    AD
    BD
    ，将这三个式子相乘，即可证明出结论．
    解答：证明：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，如图．
    ∵S△AEF=
    1
    2
    EF•AM，S△BEF=
    1
    2
    EF•BN，
    ∴
    S△AEF
    S△BEF
    =
    AM
    BN
    ．
    ∵在△ADM与△BDN中，
    ∠AMD=∠BND=90°
    ∠ADM=∠BDN
    ，
    ∴△ADM∽△BDN，
    ∴
    AD
    BD
    =
    AM
    BN
    ，
    ∴
    AD
    BD
    =
    S△AEF
    S△BEF
    ；

    （2）设F到BE的距离为h，则
    S△BEF
    S△ECF
    =
    1
    2
    BE•h
    1
    2
    EC•h
    =
    BE
    EC
    ，
    同理，得到
    S△CEF
    S△FEA
    =
    CF
    FA
    ，
    又由（1）得出
    S△AEF
    S△BEF
    =
    AD
    BD
    ，
    将这三个式子相乘，得
    AD
    BD
    •
    BE
    EC
    •
    CF
    FA
    =
    S△AEF
    S△BEF
    •
    S△BEF
    S△ECF
    •
    S△CEF
    S△FEA
    =1．
    即
    AD
    BD
    •
    BE
    EC
    •
    CF
    FA
    =1．
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积比表示两条线段的比，同时考查了学生的理解能力及知识的迁移能力，难度适中．（1）问分别作出△AEF与△BEF中EF边上的高是解题的关键．
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    OA
    =
    OB′
    OB
    =
    OC′
    OC
    =3    ，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？证明你的结论．精英家教网

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