Question

在平面直角坐标系中，已知函数和函数，不论取何值，都取与二者之中的较小值.

1.求关于的函数关系式

2.现有二次函数，若函数和都随着的增大而减小，求自变

量的取值范围

3.在（2）的结论下，若函数和的图象有且只有一个公共点，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

 

1.       ……………………………………….……..2分

（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）

2.对函数，当随的增大而减小，

，         ………………………………………..…….3分

又函数的对称轴为直线，            …………………………….……..4分

且，

当时，随的增大而减小，            ………………………….……..5分

                  …………………………………….…………….…..6分

3.①若函数与只有一个交点，且交点在范围内.

     则，

       ，

        ，

      得           …………………………….…………….…7分

      此时，符合，  ………….…………..….…8分

    

②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个交点在范围外.则， 即，   ………….…9分

方法一：对，当时；当时.

又当时，随的增大而减小，      ……….………10分

  若与在内有一个交点，

则当时；当时，

即当时；当时.

也即   解得，        ……….……..…11分

由，得             …………………………..…12分

综上所述，的取值范围是：或.

方法二：由函数与的一个交点在范围内，另一个交点在范围外，可得：  或

解第一个不等式组，可得 即无解；         …….………10分

解第二个不等式组，可得 即，      ….………11分

由，得.          ……………………………..…12分

【解析】（1）有题意可知y₁和y₂交于(2,4),当x小于2时，y₁和y₂中y₁较小，当x大于2时，y₁和y₂中y₂较小，当x=2时，y₁=y₂，因此，y₀是关于x的分段函数，当x<2时，y₀=-x+6，当x>2时，y₀=2x

（2）因为对函数，当随的增大而减小，所以y₀=-x+6, 函数的对称轴为直线,且，所以自变量的取值范围

（3）分两种情况讨论：①若函数与只有一个交点，且交点在范围内.；②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个交点在范围外