Question

对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图①，△ABC∽△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图②，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。

（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是       ；互为逆相似的是       。(填写所有符合要求的序号)

（2）如图③，在锐角△ABC中，ÐA<ÐB<ÐC，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）①②；③

（2）

【解析】解：（1）①②；③。

（2）根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。

第一种情况：如图①，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ₁、PQ₂，分别使ÐCPQ₁=ÐA，ÐBPQ₂=ÐA，此时△PQ₁C、△PBQ₂都与△ABC互为逆相似。

第二种情况：如图②，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作ÐCBM=ÐA，BM交AC于点M。

当点P在AM(不含点M)上时，过点P₁只能画出1条截线P₁Q，使ÐAP₁Q=ÐABC，此时△AP₁Q与△ABC互为逆相似；

当点P在CM上时，过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，分别使ÐAP₂Q₁=ÐABC，ÐCP₂Q₂=ÐABC，此时△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都与△ABC互为逆相似。

第三种情况：如图③，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作ÐBCD=ÐA，ÐACE=ÐB，CD、CE分别交AC于点D、E。

当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P₁Q，使ÐAP₁Q=ÐABC，此时△AQP₁与△ABC互为逆相似；

当点P在DE上时，过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，分别使ÐAP₂Q₁=ÐACB，ÐBP₂Q₂=ÐBCA，此时△AQ₁P₂、△Q₂BP₂都与△ABC互为逆相似；

当点P在BE(不含点E)上时，过点P₃只能画出1条截线P₃Q’，使ÐBP₃Q’=ÐBCA，此时△Q’BP₃与△ABC互为逆相似。

（1）根据定义作出判断。

（2）分点P在BC(不含点B、C)上、点P在AC(不含点A、C)上、点P在AB(不含点A、B)上三种情况，根据定义讨论。