Question

18．如图，已知直线l与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）分别交于D、E两点，若点D坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）．
（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；
（2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m何值时，直线1与双曲线有且只有一个交点？
（3）在直线l上是否存在点P，使得△POA为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把D坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，设直线l解析式为y=ax+b，把D与E坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线l解析式；
（2）利用平移规律表示出直线l平移后的解析式，与反比例解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，由直线l与双曲线有且只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m的值；
（3）在直线l上存在点P，使得△POA为等腰三角形，如图所示，分四种情况求出P的坐标即可．

解答 解：（1）把D（4，1）代入反比例解析式得：1=$\frac{k}{4}$，即k=4，
∴反比例解析式为y=$\frac{4}{x}$；
设直线l解析式为y=ax+b，
把D（4，1），E（1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=1}\\{a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=5，
则直线l解析式为y=-x+5；
（2）设直线l向下平移m（m＞0）个单位的解析式为y=-x+5-m，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5-m}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得：$\frac{4}{x}$=-x+5-m，即x²+（m-5）x+4=0，
∵直线1与双曲线有且只有一个交点，
∴△=（m-5）²-16=0，即m-5=4或-4，
解得：m=9或1；
（3）在直线l上存在点P，使得△POA为等腰三角形，
分四种情况考虑：
当OA=AP₁=5时，P₁坐标为（5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）；
当OP₂=AP₂时，P₂坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
当AO=AP₃=5时，P₃坐标为（5-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）；
当OA=OP₄=5时，此时P₄与B重合，P₄坐标为（0，5），
综上，P的坐标为（5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）；（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）；（5-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）；（0，5）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及一次函数图象与反比例图象的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．