Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．
（1）求证：△CBE∽△CAB；
（2）若S_△CBE：S_△CAB=1：4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理得出∠DBC=∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似直接证明即可；
（2）利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出AC：BC=BC：EC=2：1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出．

解答：（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC=∠BAC，
在△CBE与△CAB中；
∠DBC=∠BAC，∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．

（2）解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD
∵S_△CBE：S_△CAB=1：4，△CBE∽△CAB，
∴AC：BC=BC：EC=2：1，
∴AC=4EC，
∴AE：EC=3：1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD∥OC，则AD：FC=AE：EC=3：1，
设FC=a，则AD=3a，
∵F为BD的中点，O为AB的中点，
∴OF是△ABD的中位线，则OF=

1

2

AD=1.5a，
∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a，则AB=2OC=5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

3a

5a

=

3

5

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质等知识，利用未知数表示出OF=

1

2

AD=1.5a，AB=2OC=5a是解决问题的关键．