Question

23、观察下列等式（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；…
（1）请你猜想一般规律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…x²+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

；
（2）已知x³+x²+x+1=0，求x²⁰⁰⁸的值．

Answer 1

分析：（1）根据已知的等式，即可发现等式的右边是两项，且x的指数比左边式子后边括号中x的最高指数大1；
（2）根据（1）中的结论，得x²⁰⁰⁸=（x-1）（x²⁰⁰⁷+x²⁰⁰⁶+x²⁰⁰⁵+…x²+x+1）+1，结合x³+x²+x+1=0和因式分解的知识，即可求解．

解答：解：（1）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（2）∵x³+x²+x+1=0，
∴x²⁰⁰⁸=（x-1）（x²⁰⁰⁷+x²⁰⁰⁶+x²⁰⁰⁵+…x²+x+1）+1=1．

点评：此题的难点是要能够利用（1）得到的结论进行计算（2）中的式子，巧妙运用因式分解的知识．