Question

如图，已知?ABCD，∠B=45°，以AD为直径的⊙O经过点C．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AB=2

2

，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连结OC，根据平行四边形的性质求得∠D=45°，然后根据等边对等角，得出∠OCD=45°，从而求得∠COD=90°，再根据平行线的性质得出OC⊥BC，即可求得BC是⊙O的切线．
（2）根据S_阴影部分=S_□ABCD-S_Rt△COD-S_扇形AOC即可求得；

解答：（1）证明：连结OC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=45°．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠D=45°，
∴∠DOC=90°．
∵AD∥BC，
∴∠OCB=∠DOC=90°，
∴直线BC是⊙O的切线．                              

（2）解：在Rt△DOC中，CD=AB=2

2

，∠D=45°，
∴OC=CDsin∠D=2

2

sin45°=2，
∴AD=2OC=4．
S_阴影部分=S_□ABCD-S_Rt△COD-S_扇形AOC
=4×2-

1

2

×2×2-

1

4

π×22
=6-π．
答：阴影部分的面积为（6-π）．

点评：此题考查学生会利用转化的思想把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，考查了数形结合的数学思想，同时要求学生掌握平行四边形及等腰直角三角形的性质，是一道中档题．