Question

（1）问题探究

如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分别为点M，N.试探究线段D₁M与线段D₂N的数量关系，并加以证明.

（2）拓展延伸

①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K₁H₁，K₂H₂，分别交直线AB于点H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁.作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分别为点M，N.D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变.D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

图1                    图2                       图3

（第25题图）

Answer 1

解：（1）D₁M=D₂N.……………………………………………………………………1分

证明：∵∠ACD₁=90°，

∴∠ACH+∠D₁CK=90°

∵∠AHK=∠ACD₁=90°，

∴∠ACH+∠HAC=90°

∴∠D₁CK=∠HAC………………………………………………………………………2分

∵AC=CD₁，

∴△ACH≌△CD₁M

∴D₁M=CH.………………………………………………………………………………3分

同理可证D₂N=CH

∴D₁M=D₂N.……………………………………………………………………………4分

（2）①证明：D₁M=D₂N成立.………………………………………………………5分

过点C作CG⊥AB，垂足为点G.

∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，

∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，

∠AH₁C=∠ACD₁，

∴∠H₁AC=∠D₁CM.……………………………………………………………………6分

∵AC=CD₁，∠AGC=∠CMD₁=90°，

∴△ACG≌△CD₁M.

∴CG=D₁M.………………………………………………………………………………7分

同理可证CG=D₂N.

∴D₁M=D₂N.……………………………………………………………………………8分

②作图正确.……………………………………………………………………………9分

D₁M=D₂N还成立.……………………………………………………………………10分

图1                    图2                        图3