Question

如图，二次函数y=x²+bx+c图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，△MAB为直角三角形，图象的对称轴为直线x=-2，点P是抛物线上位于A，C两点之间的一个动点，则△PAC的面积的最大值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：此题和一些压轴题的图形面积问题相似度很高，所以思路也是一致的，即：连接AC，求出直线AC的解析式，然后过P作y轴的平行线，交直线AC于点Q，先设出点P、Q点的坐标，可得到线段PQ的长度，那么以PQ为底、OA为高即可得到△PAC的面积；那么，求出抛物线和直线AC的解析式，即求出点A、B、C的坐标是解答题目的关键，这就要从△MAB的特殊形状和抛物线对称轴方程入手解答．
首先，由抛物线对称轴方程可得出b的值，那么抛物线解析式中只有一个待定系数，用c表示出x_B-x_A和点M的纵坐标；由于抛物线的对称性，那么△MAB必为一个等腰直角三角形，所以AB的长等于2倍的点M到x轴的距离，根据这个思路来列方程求出c的值，至此，题目的难点逐一突破．
解答：解：∵x=-=-2，且a=1，∴b=4；
则，抛物线：y=x²+4x+c；
∴AB=x_B-x_A===2，点M（-2，c-4）；
∵抛物线是轴对称图形，且△MAB是直角三角形，
∴△MAB必为等腰直角三角形，则有：AB=2=2|c-4|，
解得：c=3；
∴抛物线：y=x²+4x+3，且A（-3，0）、B（-1，0）、C（0，3）．
过点P作直线PQ∥y轴，交直线AC于点Q，如右图；
设点P（x，x²+4x+3），由A（-3，0）、C（0，3）易知，直线AC：y=x+3；
则：点Q（x，x+3），PQ=（x+3）-（x²+4x+3）=-x²-3x；
S_△PAC=PQ×OA=×（-x²-3x）×3=-（x+）²+，
∴△PAC有最大面积，且值为 ；
故选C．
点评：这道题目虽然是选择题，但考查的内容与压轴题类似，题目的难点在于抛物线解析式的确定，这就涉及到二次函数与方程的联系、抛物线的对称性以及等腰直角三角形的特点等知识的综合应用，难度较大．