Question

如图，已知正方形纸片ABCD，首先将正方形纸片对折，使AB与CD重合，折痕为EF，再沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，连接A B′、D B′，则下列结论正确的是    ．（多填或错填得0分，少填酌情给分）
①EF平分线段GC；
②△GHB′是等边三角形；
③∠GAB′=75°；
④图中等腰三角形（等边三角形除外）共有4个．

Answer 1

【答案】分析：①根据正方形的性质可以得出四边相等和对边平行，再由轴对称的性质可以得出EF是BC的垂直平分线，最后根据平行线等分线段定理可以得出其结论．
②连接BB′，由对称轴的性质得出△BB′C为正三角形及△GB′C为直角三角形，从而得出∠BB′C=60°，得∠GB′B=∠GBB′=30°，由轴对称的性质得出BB′⊥GC，可以得出∠BGC=60°，从而证明△BB′C为等边三角形．
③由②得出∠GBB′=30°，且由轴对称得出△ABB′为等腰三角形，从而求出∠GAB′=75°．
④由①、②中的结论可以得出图中等腰三角形（含等边三角形）共有4个．
解答：解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=AD，
∵EF是对称轴，
∴AB∥EF∥CD，BF=CF，
∴，
∴CH=GH，
∴EF平分线段GC； 
故此结论正确；
②连接BB′．
∵GC是对称轴，
∴GC⊥BB′，BB′=B′C，BC=B′C，∠GB′C=90°，
∴△BB′C是正三角形，
∴∠BBC′=60°，
∴∠GB′B=∠GBB′=30°，
∴∠B′GC=60°．
∵CH=GH，
∴HB′=GH，
∴△GHB′是等边三角形．
故此结论正确；
③∵EF、GC是对称轴，
∴BB′=B′C，且B′C=AB，
∴BB′=AB且∠GBB′=30°，
∴∠GAB′=75°．
故此结论正确；
④在没有作辅助线的图中，由轴对称的性质和直角三角形的性质得出△AB′D、△B′DC、△HB′C、△HGB′是等腰三角形，但△HGB′是等边三角形．
故此结论错误．
故答案为：①②③．
点评：本题是一道有关轴对称的试题，考查了轴对称的性质及运用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定及运用，正方形的性质及平行线等分线段定理的运用．