Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：

①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．

其中正确结论的序号是．

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠CEB=∠ABE，又∵BE平分∠AEC，

∴∠AEB=∠CEB，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB=2，在Rt△ADE中，AD=，AE=2，由勾股定理可求得DE=1，∴CE=CD﹣DE=2﹣1=1，∵DC∥AB，∴△PCE∽△PBF，∴=，即==，

∴BF=2，∴AB=BF，∴点B平分线段AF，故①正确；∵BC=AD=，∴BP=，

在Rt△BPF中，BF=2，由勾股定理可求得PF===，

∵DE=1，∴PF=DE，故②正确；在Rt△BCE中，EC=1，BC=，由勾股定理可求得BE=2，

∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC，

故③正确；∵AB=2，AD=，∴S矩形ABCD=AB×AD=2×=2，

∵BF=2，BP=，∴S△BPF=BF×BP=×2×=，

∴4S△BPF=，∴S矩形ABCD=≠4S△BPF，故④不正确；

由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB为正三角形，故⑤正确；

综上可知正确的结论为：①②③⑤．

故答案为：①②③⑤．