Question

若自然数n的全部正约数之积好等于n⁴，则称n为“佳数”，1999以内且不能被2，3，5整除的佳数的个数是（　　）

A、7

B、8

C、9

D、≥10

Answer 1

分析：由自然数1的全部正约数之积好等于n⁴=1，可得1是“佳数”，又由自然数n的全部正约数之积好等于n⁴，可得n为三个质数的积，由不是被2，3，5整除的质数有7，11，13，17，19，23，29…，又由1999以内，分析求解即可求得答案．

解答：解：∵自然数1的全部正约数之积好等于n⁴=1，
∴1是“佳数”，
设n=abc（a，b，c为质数），
∴n的全部正约数有：1，a，b，c，ab，ac，bc，abc，
∴1×a×b×c×ab×ac×bc×abc=（abc）⁴=n⁴，
∵自然数n的全部正约数之积好等于n⁴，
∴n为三个质数的积，
∵不能被2，3，5整除，
∴质数有：7，11，13，17，19，23，29…
∵符合要求的有：901=7×11×13，1001=7×11×17，1463=7×11×19，1771=7×11×23，1547=7×13×17，1729=7×13×19．
∴1999以内且不能被2，3，5整除的佳数的有：1，901，1001，1463，1771，1547，1729共7个．
故选A．

点评：此题考查了正约数的知识与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是是分析求得自然数n的全部正约数之积好等于n⁴，则n为三个质数的积．