Question

（2012•乐山模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CFDE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求△ABC的内切圆半径．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的判定得出四边形CFDE是矩形，再利用角平分线的性质得出DF=DE，即可得出矩形OECF是正方形；
（2）根据切线长定理可得：CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB），由此可求出r的长即可．

解答：（1）证明：如图1，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE=DN，DN=DF，
∴DF=DE，
∴矩形CFDE是正方形；

（2）解：如图2，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4；
根据勾股定理AB=

AC2-BC2

=5；
由切线长定理，得：AN=AF，BN=BE，CE=CF；
∴CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB）；
即：r=

1

2

（3+4-5）=1．

点评：此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和直角三角形的内切圆半径求法，利用切线长定理求出内切圆半径是解题关键．