Question

在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，设OA=x，表示出AE为2-x，即BF的长度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出AB的长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出△AOB的周长随AB的变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值，然后解答即可．
解答：（1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O=90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=OQ=2，MF=OP=2，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：有最小值，最小值为4+2．
理由如下：根据（1）△AME≌△BMF，
∴AE=BF，
设OA=x，则AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM==，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=AM=•=，
△AOB的周长=OA+OB+AB=x+（4-x）+=4+，
所以，当x=2，即点A为OP的中点时，△AOB的周长有最小值，最小值为4+，
即4+2．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，以及二次函数的最值问题，作出辅助线，把动点问题转化为固定的三角形，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．