Question

（2013•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=x，y=

S1

S2

．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；
（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．
①首先分别用x表示出S₁与S₂，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；
②注意中心对称、轴对称的几何性质．

解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°；
而在△PFC中，由于PC为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．

（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CFP，则

AP

CF

=

AE

PC

．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=

2

AB=4

2

，
又∵P为对称中心，则AP=CP=2

2

，
∴AE=

AP•PC

CF

=

2 2 •2 2

x

=

8

x

．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=

1

2

BC=2，同理PG=2．
S_△APE=

1

2

PH•AE=

1

2

×2×

8

x

=

8

x

，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则S_{四边形AEPN}=2S_△APE=

16

x

；
而S₂=2S_△PFC=2×

PG•CF

2

=2x，
∴S₁=S_{正方形ABCD}-S_{四边形AEPN}-S₂=16-

16

x

-2x，
∴y=

S1

S2

=

16- 16 x -2x

2x

=-

8

x2

+

8

x

-1．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令

1

x

=a，则y=-8a²+8a-1，当a=-

8

-2×8

=

1

2

，即x=2时，y取得最大值．
而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y_最大=4-2-1=1．
∴y关于x的函数解析式为：y=-

8

x2

+

8

x

-1（2≤x≤4），y的最大值为1．
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
则EB=BF，即AE=FC，
∴

8

x

=x，解得x=2

2

，
代入x=2

2

，得y=2

2

-2．

点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．