Question

（2012•密云县二模）如图，在边长为1的等边△ABC中，若将两条含120°圆心角的

AOB

、

BOC

及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC面积的比是

1

3

或1：3

．

Answer 1

分析：欲求S与△ABC面积的比，可以推出点O就是弧AOB，弧BOC的中点，画出弧AOB的圆心D，连接DO，再根据等边三角形的性质，圆周角定理及弧长公式求解．

解答：解：可以推出点O就是弧AOB，弧BOC的中点，
画出弧AOB的圆心D，连接DO交AB于点E，
∵∠ADB=120°，AB=1，
∴∠EDB=60°，
∴sin60°=

BE

BD

=

1 2

r

=

3

2

．
可得弧AOB的半径r=

3

3

．
设阴影部分的上半部分面积是S₁，下半部分的面积是S₂，
则S₁=2[π（

3

3

）²×

1

6

-（

3

3

）²×

3

4

]=

π

9

-

3

6

，
弧AOB在三角形ABC的部分，的面积为：
T=π（

3

3

）²×

1

3

-（

3

3

）²×

3

4

=

π

9

-

3

12

；
所以S₂=△ABC面积-2T+S₁=

3

4

-2（

π

9

-

3

12

）+（

π

9

-

3

6

）=

3

4

-

π

9

；
∴S=S₁+S₂=

3

12

，
S与△ABC面积的比=

3

12

：

3

4

=

1

3

；
故答案为：

1

3

或1：3．

点评：此题主要考查了扇形的面积计算，可以再作出弧AC，即可看出它们之间的关系．