Question

如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，DG为AC的垂直平分线，交AC于G，交BC于D，若BC=15cm，则DF长为________．

Answer 1

5
分析：连接AF、AD，先由△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°求出∠B及∠C的度数，再由线段垂直平分线的性质得出BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF，∠C=∠CAD，由三角形外角的性质求出∠AFD与∠ADF的度数，判断出△AFD是等边三角形，由等边三角形的性质可得到AF=FD=AD，故AF=FD=AD=BF=CD，即3DF=BC，由BC=15cm即可求出DF的长．
解答：解：连接AF、AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C===30°，
∵EF、DG分别为线段AB、AC的垂直平分线，
∴BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF=30°，∠C=∠CAD=30°，
∵∠AFD与∠ADF分别是△ABF与△ACD的外角，
∴∠AFD=∠B+∠BAF=30°+30°=60°，∠ADF=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=FD=AD，
∵BF=AF，AD=CD，BC=15cm，
∴AF=FD=AD=BF=CD，
∴3DF=BC=15，
∴DF=5cm．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角与外角的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．