Question

已知抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）证明抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴交于A、B（点A在点B的左侧）求出点A、B的坐标；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，若DH=HC，求直线CD的解析式．

Answer 1

（1）证明：令ax²-2ax-3a=0．
∵a＜0，
∴△=（-2a）²-4a•（-3a）=16a²＞0，
∴抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴一定有两个不同的交点；

（2）解：令y=0，得 ax²-2ax-3a=0．
∵a≠0，
∴x²-2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；

（3）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a．
则C（0，-3a）．
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a），
∴DH=HC=-4a-（-3a）=-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把点C，点D的坐标分别代入得：
，
解得．
故直线CD的解析式为：y=x+3．
分析：（1）令ax²-2ax-3a=0，证明出△＞0即可说明抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）一定与x轴有两个不同的交点；
（2）令y=0，得 ax²-2ax-3a=0，根据a≠0，解出一元二次方程，即可得到点A、B的坐标；
（3）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，求出C点坐标（0，-3a），同理求出D点坐标为（1，-4a），进而证明出DH=HC=-a=1，求出a的值，设直线CD的解析式为y=kx+b，列出k和b的方程组求出k和b，直线CD的解析式即可求出．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是掌握二次函数图象得性质和待定系数法求一次函数的解析式，此题难度不大．