Question

AB是⊙O的直径，AB=4，D是⊙O上异于端点A、B的一动点，延长AD到C使CD=AD，连接BC，BD．
（1）求证：AB=BC；
（2）设AD=x，△ABC的面积为y，请你写出y与x间的函数关系式；
（3）何时△ABC的面积最大？请你求出这个面积的最大值．

Answer 1

（1）证明：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=180°-∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠CDB，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴BC=AB=4；

（2）解：由（1），AB²=AD²+BD²，
又∵AB=4，AD=x，
∴BD==，
∴△ABC的面积为y=AC•BD=×2x=x；

（3）解：方法一：
过点C作CH⊥AB于H，
可知y=S_△ABC=AB•CH=2CH，
当动点D在圆弧上运动时，可知CH≤BC，
当且仅当AB与BC垂直时，CH=BC=4，
此时，△ABC的面积最大，最大面积为8．
方法二：
由（2），△ABC的面积为y=x=，
∵16x²-x⁴=-（x²-8）²+64，
∴当且仅当x²=8，即时，16x²-x⁴可以取得最大值64，
此时△ABC的面积为．
分析：（1）如图，连接BD，构造Rt△ABD和Rt△BCD，根据全等三角形的判定定理SAS证明△ABD≌△CBD，然后由全等三角形的对应边相等证得BC=AB；
（2）利用（1）中的Rt△ABD是直角三角形，由勾股定理求得AB²=AD²+BD²，然后把x与AB=4代入表示出BD，再利用三角形的面积公式列式即可得到y与x间的函数关系式；
（3）把x移到根号下，然后配方成顶点式的二次函数的形式，再确定最值即可．
点评：本题考查了直径所对的圆周角是直角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及二次函数的最值问题，综合性较强，解答时要注意灵活运用所学知识，仔细分析细心解答方可解决．