Question

为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

解：（1）当x=20时，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x-10）（-10x+500）
=-10x2+600x-5000
=-10（x-30）2+4000
∵a=-10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：-10x2+600x-5000=3000，
解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=-10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）
=-20x+1000．
∵k=-20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
分析：（1）把x=20代入y=-10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由利润=销售价-成本价，得w=（x-10）（-10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令-10x²+600x-5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．