Question

已知矩形ABCD，点E﹑F分别在边AD﹑CD上，且AF⊥BE于点G，AD=mAB，AD=nAE．
（1）如图1，当m=1，n=2时，则=______，=______；
（2）在（1）的条件下，连接CG，求证：CG=CB；
（3）如图2，对于矩形ABCD，若CG=CB，则m﹑n必满足的数量关系是______．

Answer 1

（1）解：∵AF⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠BAG+∠GAE=90°，
∴∠ABG=∠GAE，
∴Rt△ABE∽Rt△DAF，
∴==，
∵AD=AB，
∴=1，DF=AE，
∵AD=2AE，
∴AB=2DF，即DC=2DF，
∴=1；
（2）证明：作CH⊥BG于H，如图1，
∵tan∠ABE==，
而∠ABE=∠BCH，
∴tan∠BCH==，
∵AB=BC，
∴Rt△ABG≌Rt△BCH，
∴BG=CH，
∴BH=BG，
∴△BCG为等腰三角形，
∴CB=CG；
（3）解：作CH⊥BG于H，如图2，
∵CB=CG，
∴BG=HG，即BG=2BH，
易证得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，
∴=，=，
∵AD=mAB，AD=nAE．
∴BC=mAB，AB：AE=n：m，
∴==，==m，即=2m，
∴=2m，
∴n=2m²．
故答案为1，1；n=2m²．
分析：（1）由AF⊥BE得到∠AGB=90°，根据等角的余角相等得∠ABG=∠GAE，根据相似的判定方法得到Rt△ABE∽Rt△DAF，则==，
然后利用AD=AB得=1，DF=AE，再利用AD=2AE得AB=2DF，即DC=2DF，所以=1；
（2）作CH⊥BG于H，利用正切的定义得tan∠ABE==，而∠ABE=∠BCH，所以tan∠BCH==，根据“AAS”可判断Rt△ABG≌Rt△BCH，
BG=CH，然后根据等腰三角形的判定可得到CB=CG；
（3）作CH⊥BG于H，由CB=CG得到BG=2BH，根据有两组角分别相等的两三角形相似易得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，则=，=，
由AD=mAB，AD=nAE得到BC=mAB，AB：AE=n：m，所以==，==m，即=2m，然后经过代换可得m与n的关系．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了三角形全等的判定与性质以及矩形的性质．