Question

如图，正方形ABCD中，M为DC的中点，N为BC上一点，BN=3NC，设∠MAN=α，则cosα的值等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

A
分析：设NC=a，则BN=3a，正方形的边长是4a．根据勾股定理的逆定理即可证得：△ANM是直角三角形．根据余弦的定义即可求解．
解答：解：设NC=a，则BN=3a，正方形的边长是4a．
在直角△ABN中，根据勾股定理可得：AN²=AB²+BN²=16a²+9a²=25a²，
则AN=5a；
在直角△ADM中，AM²=AD²+DM²=16a²+4a²=20a²，
则AM=2a；
在直角△MNC中，MN²=NC²+MC²=a²+4a²=5a²．
∴AN²=NM²+AM²，
∴△ANM是直角三角形．
∴cosα===．
故选A．
点评：本题主要考查了正方形的性质，以及勾股定理的逆定理，正确证得△ANM是直角三角形是解题关键．