Question

已知k为不超过50的正整数，使得对任意正整数n，2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1都能被7整除，则这样的正整数k有______个．

Answer 1

2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=2×27²ⁿ+2k×8ⁿ-1=2×（28-1）²ⁿ+2k×（7+1）²ⁿ
=2×（-1）²ⁿ+2k-1=2k+1（mod7），
但2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=0（mod7），
2k+1=0（mod7），即2k+1=7m（m为奇数），
因为1≤k≤50，所以3≤7m≤101，
故m=1、3、…13，相应的k=3、10、…、45共7个．
故答案为7．