Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E为CD边的中点，BE⊥CD，且∠FBE=2∠EBC．在线段AD上取一点F，在线段BE上取一点G，使得BF=BG，连接CG．
（1）若AB=AF，EG=，求线段CG的长；
（2）求证：∠EBC+∠ECG=30°．

Answer 1

解：（1）连接BD，
∵点E为CD边的中点，BE⊥CD
∴BD=BC
∴∠DBE=∠CBE
∵∠FBE=2∠EBC，
∴∠DBE=∠CBE=∠DBF
∵BF=BG，
∴△FBD≌△GBC，
∴∠DFB=∠CGB
∵∠DFB+∠AFB=∠CGB+∠CGE=180°
∴∠AFB=∠CGE
∵AB=AF，∠A=90°，
∴∠AFB=∠CGE=45°
∴EG=CE=，
∴在Rt△EGC中，
∴GC==2；

（2）由（1）可知：
△FBD≌△GBC
∴∠FDB=∠DBC=2∠EBC，
∵∠GBC+∠GCB=∠EGC，
∴∠EGC=∠GBC+2∠EBC=3∠EBC，
∵∠EGC+∠ECG=90°，
∴3∠EBC+∠ECG=90°，
∴∠EBC+∠ECG=30°．
分析：（1）先连接BD，根据点E为CD边的中点，BE⊥CD，得出BD=BC，再利用SAS证出△FBD≌△GBC，得出∠DFB=∠CGB，所以∠AFB=∠ECG，再根据AB=AF，∠A=90°，得出∠AFB=∠CGE=45°所以EG=CG=，最后利用勾股定理即可求出GC，
（2）根据（1）的证出可得∠FDB=∠DBC=2∠EBC，再根据∠GBC+∠GCB=∠EGC，得出∠EGC=3∠GBC，最后再根据∠EGC+∠ECB=90°，即可证出∠EBC+∠ECG=30°；
点评：此题考查了梯形，用到的知识点是全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是证出△FBD≌△GBC，得出对应角相等．