Question

11．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD的中点，
（1）试确定四边形EGHF的形状，并说明理由；
（2）若四边形EGHF的面积为4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理得到EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，GH∥BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，得到EF=GH，EF∥GH，根据平行四边形的判定定理得到四边形EGHF是平行四边形，证明EG⊥EF，得到四边形EGHF为矩形；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．

解答 解：（1）四边形EGHF为矩形，
∵E、F是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
∵G、H是BC、DC的中点，
∴GH∥BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵E、G是AB、BC的中点，
∴EG∥AC，EG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EG⊥EF，
∴四边形EGHF为矩形；
（2）∵EF=$\frac{1}{2}$BD，EG=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{1}{4}$BD×AC=4，
则$\frac{1}{2}$BD×AC=8，
∴四边形ABCD的面积为8．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和菱形的面积计算，掌握三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．