Question

若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形

1. A.
   不存在
2. B.
   只有一个
3. C.
   有有限个，但不只一个
4. D.
   有无穷多个

Answer 1

D
分析：首先根据题意找到符合条件的一组数，再根据六边形的不稳定性，确定这样的六边形有无穷多个．
解答：若能找到6个整数a₁，a₂，…，a₆，使满足
（1）a₁+a₂+…+a₆=20；
（2）a₁≤a₂，a₁+a₂≤a₃，a₁+a₂≤a₃；a₁+a₂≤a₃，a₁+a₂≤a₃；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅＞a₆．
则以a₁，a₂，…，a₆为边长的六边形，即可符合要求．
现取a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，则a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆满足全部条件．
故这样的六边形至少存在一个．
又由n边形（n≥4）的不稳定性，即知这样的六边形有无穷多个．
故选D．
点评：此题综合考查了三角形的三边关系和六边形的不稳定性．