Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．
求证：（1）CF=CE
（2）四边形CFHE是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）利用垂直的定义结合角平分线的性质以及互余的性质得出∠4=∠5，进而得出答案；
（2）根据题意分别得出CF∥EH，CF=EH，进而得出答案．

解答 证明：（1）如图所示：∵∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
又∵∠AE平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∴CF=CE；

（2）∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
由（1）CF=CE，
∴CF=EH，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，
∴∠CDB=∠EHB，
∴CD∥EH，
即CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质、角平分线性质等知识点的应用，熟练应用等腰三角形的性质是解题关键．