Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．

（1）求OH的长；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少；
（3）设PQ与OB交于点M．①当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值． ②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

Answer 1

2；；

解析试题分析：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2 
∴OB=4，∠ABO=60°
∴∠BOC=60°而∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形

∴OH=OBcos30°=4×=2；      2分
（2）∵OP="OH-PH=2" -t
∴Xp="OPcos30°=3-" t   Yp="OPsin30°=" -
∴S= •OQ•Xp= •t•（3- t）
=（o＜t＜2）
当t=时，S最大= ；            5分
（3）①若△OPM为等腰三角形，则：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=yp即t= -
解得：t= 
此时S=
（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP
即t-（ - t）="3-" t
解得：t=2
此时S= 
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB∴PQ∥OA
此时Q在AB上，不满足题意．       10分
②线段PM长的最大值为 ．          12分
考点：二次函数的综合题
点评：此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的思维