Question

如图，AB为⊙O的直径，D为弦BC的中心，连接OD并延长交过点C的切线于点P，连接AC．求证：△CPD∽△ABC．

Answer 1

证明：连接OC．
∵PC是⊙O的切线，点C为切点，
∴∠OCP=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥CD．
又点D为弦BC的中点，
∴OP⊥CD．
∴∠P+∠POC=90°，
∠OCD+∠POC=90°．
∴∠P=∠OCD．
∵OC=OB，
∴∠OCD=∠B．
∴∠P=∠B．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CDP=∠ACB=90°．
∴△CDP∽△ABC．
分析：连接OC．则∠OCP=90°，再由AB是⊙O的直径，得AC⊥CD．根据D为弦BC的中心，则OP⊥BC，再由弦切角定理得出∠PCD=∠A，从的得出结论．
点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．