Question

已知：直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：菱形ABCD的边长是

5

、面积是

24

、高BE的长是

24

5

；
（2）若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式；
（3）若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，求出当t=4秒时，△APQ为等腰三角形时k的值．

Answer 1

分析：（1）求出OC=4，OD=3，在Rt△COD中，由勾股定理求出CD=5，求出AC=2OC=8，BD=2OD=6，即可求出菱形ABCD的面积（

1

2

×AC×BC），根据S=

1

2

×AC×BE，求出BE即可；
（2）求出AP=t，AQ=10-2t，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，根据△AQG∽△ABE求出QG=

48

5

-

48

25

t，代入S=

1

2

AP•QG求出即可；
（3）当t=4秒时，求出AP=4，以下分两种情况讨论：第一种情况：当点Q在CB上时，只有Q₁A=Q₁P，过点Q₁作Q₁M⊥AP，垂足为点M，Q₁M交AC于点F，根据△AMF∽△AOD∽△CQ₁F求出FM=

3

2

，Q₁F=

33

10

，CQ₁=

4

3

QF=

22

5

，由CQ₁=4k，求出即可；第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q₂，Q₃，分别使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，根据CB+BQ₂=10-4=6得出4k=6，求出即可；
②若PA=PQ₃，过点P作PN⊥AB，垂足为N，由△ANP∽△AEB，得

AN

AE

=

AP

AB

，求出AN=

28

25

，AQ₃=2AN=

56

25

，求出BC+BQ₃=

194

25

，由4k=

194

25

，求出即可．

解答：解：（1）∵C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OC=4，OD=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=5，
即菱形ABCD的边长是5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=5，AC⊥BD，AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形ABCD的面积是

1

2

×AC×BC=

1

2

×6×8=24，
∴24=

1

2

×AC×BE，
∴BE=

24

5

；

（2）由题意，得AP=t，AQ=10-2t，
如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得：
△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

，
∴QG=

48

5

-

48

25

t，
∴S=

1

2

AP•QG=

1

2

•t•（

48

5

-

48

25

t），
S=-

24

25

t²+

24

5

t；

（3）当t=4秒时，
∵点P的速度为每秒1个单位，
∴AP=4，
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在点Q₁，使Q₁A=Q₁P，
如图2，过点Q₁作Q₁M⊥AP，垂足为点M，Q₁M交AC于点F，
则AM=

1

2

AP=2，
∵△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，
∴

FM

AM

=

FQ1

CQ1

=

OD

AO

=

3

4

，
∴FM=

3

2

，
∴Q₁F=MQ₁-FM=

33

10

，
∴CQ₁=

4

3

QF=

22

5

，
由CQ₁=4k，
∴k=

11

10

；
第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q₂，Q₃，分别使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，如图3，
CB+BQ₂=10-4=6．由4k=6，得k=

3

2

；
②若PA=PQ₃，如图4，
过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB，得

AN

AE

=

AP

AB

，
∵AE=

AB2-BE2

=

7

5

，
∴AN=

28

25

，
∴AQ₃=2AN=

56

25

，
∴BC+BQ₃=10-

56

25

=

194

25

，由4k=

194

25

，
得k=

97

50

．
综上所述，当t=4秒，使得△APQ为等腰三角形的k的值为

11

10

或

3

2

或

97

50

．
故答案为：5，24，

24

5

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，菱形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大，用了分类讨论思想．